Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c²=a²+b²-ab．
（Ⅰ）若tanA-tanB=

3

3

（1+tanA•tanB），求角B；
（Ⅱ）设

m

=（sinA，1），

n

=（3，cos2A），试求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（I）利用余弦定理、两角和差的正切公式、正切函数的单调性即可得出．
（II）利用数量积运算、倍角公式、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）∵c²=a²+b²-ab，∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

．
∵C∈（0，π），∴C=

π

3

．
∵tanA-tanB=

3

3

（1+tanA•tanB），∴tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3

3

，
∵A，B∈(0，

2π

3

)，∴-

2π

3

＜A-B＜

2π

3

，∴A-B=

π

6

．
∴B=

2π

3

-A=

2π

3

-(B+

π

6

)，解得B=

π

4

．
（2）

m

•

n

=3sinA+cos2A=-2sin²A+3sinA+1=-2(sinA-

3

4

)2+

17

8

，
由（I）可得A∈(0，

2π

3

)，∴当sinA=

3

4

时，

m

•

n

取得最大值

17

8

．

点评：本题考查了余弦定理、两角和差的正切公式、正切函数的单调性、数量积运算、倍角公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．