Question

如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=

2

，BC=1，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A-DE-B．

（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；
（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出∠ADB为二面角A-DE-B平面角，AD⊥面BCD，从而AD⊥BE，由此能证明BE⊥面ADC，从而得到面ABE⊥面ADC．
（Ⅱ）连结BE交CD于H，连结AH，过点D作DO⊥AH于O．由已知条件推导出∠DAO为AD与平面ABE所成角．由此能求出直线AD与平面ABE所成角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）由∠B=90°，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，
得DE∥BC，DE⊥AD，DE⊥BD，
∴∠ADB为二面角A-DE-B平面角，∠ADB=

π

2

．
∴AD⊥面BCD，又∵BE?面BCD，∴AD⊥BE，
又BD=

2

2

，DE=

1

2

，BC=1，即

BD

DE

=

BC

BD

，
∴△BDE～△DBC，∴∠EBD=∠DCB，
∴BE⊥DC，∴BE⊥面ADC，
又BE?面ABE，∴面ABE⊥面ADC．
（Ⅱ）连结BE交CD于H，连结AH，
过点D作DO⊥AH于O．
∵AD⊥BE，BE⊥DH，
∴BE⊥面ADHDO?面ADH，∴BE⊥DO，
又DO⊥AH，∴DO⊥面ABE，
∴∠DAO为AD与平面ABE所成角．
Rt△BDE中，BD=

2

2

，DE=

1

2

∴DH=

BD•DE

BE

=

6

6

，
Rt△ADH中，tan∠DAO=

DH

DA

=

6

6

×

2

=

3

3

．
∴直线AD与平面ABE所成角的正切值为

3

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．