Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（2）若存在x≤-2，使得f′（x）=-9，求a的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的几何意义，即可求出函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（2）先对函数f（x）进行求导，根据f′（x）=-9建立等量关系，再结合基本不等式求出最大值，注意不等式运用的条件

解答： 解：f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a，f′（x）=x²-（a+1）x+b
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．
（1）当a=1时，f′（x）=x（x-2）．
∴f′（3）=1，f（3）=3，
∴函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（2）存在x≤-2，使得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
-a-1=-x-

9

x

=（-x）+（-

9

x

）≥6，
∴a≤-7，
当且仅当x=-3时，a=-7．所以a的最大值为-7．

点评：本题主要考查了利用导数求切线方程，以及基本不等式的应用，属于中档题．