Question

如图所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．

Answer 1

考点：相似三角形的性质,相似三角形的判定

专题：立体几何

分析：如图所示，由AE是∠A的平分线，可得

BE

EC

=

AB

AC

，

AC

AH

=

CD

DH

．在△ABC中∠C=90°，CH⊥AB．利用射影定理可得：

AB

AC

=

AC

AH

．于是

BE

EC

=

CD

DH

．由DF∥AB，可得

CD

DH

=

CF

BF

，因此

BE

EC

=

CF

BF

，展开即可证明．

解答： 证明：如图所示，
由AE是∠A的平分线，
∴

BE

EC

=

AB

AC

，

AC

AH

=

CD

DH

，
∵在△ABC中∠C=90°，CH⊥AB．
∴AC²=AH•AB，即

AB

AC

=

AC

AH

．
∴

BE

EC

=

CD

DH

．
∵DF∥AB，
∴

CD

DH

=

CF

BF

，
∴

BE

EC

=

CF

BF

，
∴（BF+FE）•BF=EC•（EC+EF），
∴（BF-EC）•BC=0，
∴BF=EC．

点评：本题考查了角平分线的性质、射影定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．