Question

抛物线E：y²=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以为圆心，|CO|为半径作圆．
（Ⅰ）设圆C与准线l交于不同的两点M、N：
（1）如图，若点C的纵坐标为2，求|MN|；
（2）若|AF|²=|AM|•|AN|，求圆C的坐标；
（Ⅱ）设圆C与准线l相切时，切点为Q，求四边形OFCQ的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）（1）由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长；
（2）设C（

y02

4

，y₀），表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M（-1，y₁），N（-1，y₂），利用韦达定理表示出y₁y₂，利用|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标；
（II）|CO|=|CF|=|CQ|且圆C过点F，即可求四边形OFCQ的面积．

解答： 解：（I）（1）抛物线E：y²=4x的准线l：x=-1，
由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又|OC|=

5

，
∴|MN|=2

5-4

=2．
（2）设C（

y02

4

，y₀），则圆C的方程为（x-

y02

4

）²+（y-y₀）²=

y04

16

+y02，
即x²-

y02

2

x+y²-2y₀y=0，由x=-1得y²-2y₀y+1+

y02

2

=0，
设M（-1，y₁），N（-1，y₂），则y₁y₂=1+

y02

2

，△=2y02-4＞0，
由|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，
∴1+

y02

2

=4，解得y₀=±

6

，此时△＞0
∴圆心C的坐标为（

3

2

，±

6

）；
（Ⅱ）此时，|CO|=|CF|=|CQ|且圆C过点F…（13分）
∴SOFCQ=

1

2

•1•

2

+

1

2

(1+

1

2

)•

2

=

5 2

4

…（14分）

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．