Question

已知对任意平面向量

AB

=（x，y），把

AB

绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量：

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．
（1）已知平面内点A（1，2），点B（-1，2-2

3

），把点B绕点A逆时针方向旋转

π

3

后得到点P的坐标是

 

．
（2）设平面内曲线C：y=-

1

2x

上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转

π

4

后得到的点的轨迹方程是：

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程,向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知求出

AB

的坐标，设出P的坐标，结合题目中定义即可列示求得P点坐标；
（2）分别设出旋转后得到的轨迹上的点的坐标及原曲线上点的坐标，结合题目中定义得到两坐标的关系，代入原曲线方程整理即可得到旋转后的点的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵A（1，2），B（-1，2-2

3

），
∴

AB

=(-2，-2

3

)，

设P（x，y），则

AP

=(x-1，y-2)，
由题目中定义得：

(x-1)cos π 3 -(y-2)sin π 3 =-2 (x-1)sin π 3 +(y-2)cos π 3 =-2 3

．
解得：

x=-3 y=2

．
∴点P的坐标是（-3，2）；
（2）设旋转后得到的轨迹上的点为（x，y），
原曲线C：y=-

1

2x

上的点为（x′，y′），
则

x=x′cos45°-y′sin45° y=x′sin45°+y′cos45°

，
解得：

x′= 2 2 x+ 2 2 y y′= 2 2 y- 2 2 x

．
代入y=-

1

2x

，得x′y′=-

1

2

，
即x²-y²=1．
故答案为：（1）（-3，2）；（2）x²-y²=1．

点评：本题是新定义题，考查了轨迹方程的求法，训练了向量在几何中的应用，关键是对题意的理解，是中档题．