Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

4

，2a_n+1=a_n²+2a_n，用[x]表示不超过x的最大整数，S_n表示数列{

1

an+2

}的前n项和．现给出下列命题：
①数列{a_n}单调递增；
②数列{a_n+1-a_n}单调递减；
③

1

an+1

=

1

an

-

1

an+2

；
④[S₂₀₁₃]=3．
以上命题中正确的是

 

（填写你认为正确的所有命题的序号）．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法,简易逻辑

分析：由数列递推式得到an+1-an=

an2

2

，说明命题①正确；由

an+2-an+1

an+1-an

=(

an+1

an

)2=(1+

an

2

)2＞1说明命题②正确；把an+1=

an2+2an

2

取倒数后得到命题③正确；由递推公式2a_n+1=a_n²+2a_n，移项得2a_n+1-a_n²-2a_n=0，在两边加上a_na_n+1，并将左边提公因式得出（a_n+1-a_n）（a_n+2）=a_na_n+1，可得

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，
求出前2013项得和后结合已知说明命题④正确．

解答： 解：由2a_n+1=a_n²+2a_n，得
an+1=

an2+2an

2

，
∴a_n+1-a_n=

an2+2an

2

-an=

an2

2

＞0．
∴数列{a_n}单调递增．
命题①正确；
由an+1-an=

an2

2

，得an+2-an+1=

an+12

2

．
∴

an+2-an+1

an+1-an

=(

an+1

an

)2=(1+

an

2

)2＞1．
∴数列{a_n+1-a_n}单调递增．
命题②错误；
∵an+1=

an2+2an

2

，
∴

1

an+1

=

2

an(an+2)

=

1

an

-

1

an+2

．
命题③正确；
∵a₁=

1

4

，2a_n+1=a_n²+2a_n，
∴数列{a_n}各项为正，并且

1

an+2

＞0．
由递推公式2a_n+1=a_n²+2a_n，移项得2a_n+1-a_n²-2a_n=0，
在两边加上a_na_n+1，并将左边提公因式得出（a_n+1-a_n）（a_n+2）=a_na_n+1，
可得

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

an+2

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

＜

1

a1

=4．
又∵a1=

1

4

，a2=

9

32

，a3=

657

2048

，…，
∴3＜

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

＜4．
∴[S₂₀₁₃]=3，
命题④正确．
∴正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了数列递推式，考查了命题的真假判断与应用，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，是有一定难度题目．