Question

已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=

2

3

π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（1）若b-a=c-b=2．求c的值；
（2）若c=

3

，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）根据b-a=c-b=2．用c表示a，b，利用余弦定理即可求c的值；
（2）根据正弦定理求出AC，BC的长度，即可求出周长的最大值．

解答： 解：（1）∵b-a=c-b=2，
∴b=c-2，a=b-2=c-4＞0，∴c＞4．
∵∠MCN=

2

3

π，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcos

2

3

π，
即c²=（c-4）²+（c-2）²-2（c-4）（c-2）×（-

1

2

），
整理得 c²-9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sin∠ABC

=

BC

sn∠BAC

=

AB

sin∠ACB

，
即

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

=2，
则AC=2sinθ，BC=2sin（

π

3

-θ）．
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin（

π

3

-θ）+

3

=2sin（θ+

π

3

）+

3

．
又∵θ∈（0，

π

3

），∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

2

3

π，
∴当θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

6

时，f（θ）取得最大值2+

3

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，利用辅助角公式是解决本题的关键．