Question

3．已知函数f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的实数a，b满足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$（n∈N^*），b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{n}$（n∈N^*），给出下列命题：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为奇函数；
③数列{a_n}为等差数列；
④数列{b_n}为等比数列．
其中正确的命题是①②③④．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 令a=b=0，a=b=1，可得f（0），f（1），可判断①；令a=b=-1，求得f（-1），再由奇偶性的定义，可判断②；
再由f（2）=2，运用已知等式，求得f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，可得数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式，即可判断③④．

解答 解：∵取a=b=0，可得f（0）=0，
取a=b=1，可得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
∴f（0）=f（1），
即①正确；
令a=b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=0⇒f（-1）=0，
令a=-1，则f（-b）=-f（b）+bf（-1）=-f（b）⇒f（x）为奇函数，
即②正确；
∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）
=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$=n，b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{n}$=2ⁿ，
即有③④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，同时考查等差数列和等比数列的判定，注意运用运用通项公式，考查推理能力和运算能力，属于中档题和易错题．