Question

13．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC₁∥平面AD₁C；
（Ⅱ）求正方体夹在平面A₁BC₁与平面AD₁C之间的几何体的体积．

Answer 1

分析 （I）证明四边形BCD₁A₁，ACC₁A₁为平行四边形即可得出A₁B∥D₁C，AC∥A₁C₁，从而得出平面A₁BC₁∥平面AD₁C；
（II）用正方体的体积减去两个小三棱锥的体积即为夹在平面A₁BC₁与平面AD₁C之间的几何体的体积．

解答 （I）证明：∵BC∥A₁D₁，BC=A₁D₁，
∴四边形BCD₁A₁是平行四边形，
∴A₁B∥D₁C，
同理可得：A₁C₁∥AC，
又A₁B?平面A₁BC₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，
D₁C?平面AD₁C，AC?平面AD₁C，AC∩D₁C=C，A₁B∩A₁C₁=A₁，
∴平面A₁BC₁∥平面AD₁C．
（II）解：V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{{D}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}•a=\frac{{a}^{3}}{6}$，
∴V${\;}_{{A}_{1}B{C}_{1}-A{D}_{1}C}$=V_正方体-V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{{D}_{1}-ACD}$=a³-$\frac{{a}^{3}}{6}$-$\frac{{a}^{3}}{6}$=$\frac{2{a}^{3}}{3}$．

点评 本题考查了面面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．