Question

【题目】已知函数．

（1）当函数在内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个不同的极值点，求证：．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）见详解；

【解析】

（1）由题可求得，，所以，所以时，，为增函数，结合题意，得出，即可求出实数的取值范围；

（2）由于函数有2个不同的极值点，转化为：在区间上有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的性质，求出，写出韦达定理，，得出，构造新函数，，通过求新函数的导数求出的单调性，从而求出最值，即可证明出.

解：（1），

可知的定义域为，

，

又，

当时，，为增函数，

在内有且只有一个极值点，

，即，解得：，

则实数的取值范围为，

（2）由于函数有2个不同的极值点，

则在区间上有两个不相等的实数根，

即：方程在上有两个不相等的实数根，

令，可知，

则，即，解得：.

且，，

所以，，

，

令，，

则，，

再令，，

由于，则，对称轴为：，

得：，

可知， ，，而，

则时，，单调递增；

时，，单调递减；

而，

由于，且，

解得：，

所以，

即。