Question

14．在平面内将点A（2，1）绕原点按逆时针方向旋转$\frac{3π}{4}$，得到点B，则点B的坐标为（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，由点A的坐标得到AC，OC，可求sin∠AOC，cos∠AOC，再根据旋转的性质得到∠BOC=∠AOC+$\frac{3π}{4}$，OA=OB，利用两角和的正弦函数，余弦函数公式即可得到B点坐标．

解答 解：如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，
∵点A的坐标为（2，1），
∴AC=1，OC=2，
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠AOC=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠AOC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∵OA绕原点按逆时针方向旋转$\frac{3π}{4}$得OB，
∴∠AOB=$\frac{3π}{4}$，OA=OB=$\sqrt{5}$，
∴∠BOC=∠AOC+$\frac{3π}{4}$，
∴sin∠BOC=sin（∠AOC+$\frac{3π}{4}$）=sin∠AOCcos$\frac{3π}{4}$+cos∠AOCsin$\frac{3π}{4}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+$\frac{2}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
cos∠BOC=cos（∠AOC+$\frac{3π}{4}$）=cos∠AOCcos$\frac{3π}{4}$-sin∠AOCsin$\frac{3π}{4}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）-$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴DB=OBsin∠BOC=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OD=OBcos∠BOC=$\sqrt{5}$×（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴B点坐标为：（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案为：（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，根据直角三角形的性质确定点的坐标．也考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．