Question

19．设函数f（x）=|x-1|-|2x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若a²+2c²+3b²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函数，化简函数的解析式，从而作函数的图象，结合图象，求得函数的最大值m．
（Ⅱ）由题意可得a²+2c²+3b²=m=$\frac{3}{2}$=（a²+b²）+2（c²+b²），利用基本不等式求它的最值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-1|-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x≤-\frac{1}{2}}\\{-3x，-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{-x-2，x≥1}\end{array}\right.$，
画出图象如图，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最大值为m=$\frac{3}{2}$．
∵a²+2c²+3b²=m=$\frac{3}{2}$=（a²+b²）+2（c²+b²）≥2ab+4bc，
∴ab+2bc≤$\frac{3}{4}$，当且仅当a=b=c=1时，取等号，
故ab+2bc的最大值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，作函数的图象，利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．