Question

10．已知在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求x+2y的取值范围．

Answer 1

分析 （I）椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，消去参数，可得普通方程，即可求椭圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），即可求x+2y的取值范围．

解答 解：（I）椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，消去参数，可得普通方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，极坐标方程为${ρ}^{2}=\frac{36}{4+5si{n}^{2}θ}$；
（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），
∴x+2y的取值范围是[-5，5]．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．