Question

5．已知函数f（x+$\frac{1}{2}$）=$\frac{{x}^{2}+xcosx+2017}{{x}^{2}+2017}$，则$\sum_{i=1001}^{1016}$f（$\frac{i}{2017}$）=16．

Answer 1

分析 f（x+$\frac{1}{2}$）=$\frac{{x}^{2}+xcosx+2017}{{x}^{2}+2017}$=1+$\frac{xcosx}{{x}^{2}+2017}$，可得$f（\frac{1}{2}-x）$=1-$\frac{xcosx}{{x}^{2}+2017}$，f（x+$\frac{1}{2}$）+$f（\frac{1}{2}-x）$=2，f（1-x）+f（x）=2，再利用“倒序相加”即可得出．

解答 解：∵f（x+$\frac{1}{2}$）=$\frac{{x}^{2}+xcosx+2017}{{x}^{2}+2017}$=1+$\frac{xcosx}{{x}^{2}+2017}$，
∴$f（\frac{1}{2}-x）$=1-$\frac{xcosx}{{x}^{2}+2017}$，
∴f（x+$\frac{1}{2}$）+$f（\frac{1}{2}-x）$=2，
∴f（1-x）+f（x）=2，
则2$\sum_{i=1001}^{1016}$f（$\frac{i}{2017}$）=$\sum_{i=1001}^{1016}$f（$\frac{i}{2017}$）+$\sum_{i=1001}^{1016}f（\frac{2017-i}{2017}）$=2×16=32．
∴$\sum_{i=1001}^{1016}$f（$\frac{i}{2017}$）=16．
故答案为：16．

点评 本题考查了“倒序相加”、函数的奇偶性、数列求和，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．