Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）若-$\frac{π}{2}$＜α＜0，f（α）=$\frac{5}{6}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （I）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
（II）由条件求得sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值以及2α+$\frac{π}{6}$的范围，可得cos（2α+$\frac{π}{6}$）的值，再根据sin2α=sin（2α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$），利用两角差的正弦公式，求得sin2α的值．

解答 解：（I）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（II）若-$\frac{π}{2}$＜α＜0，则2α+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$），
∴f（α）=sin（2α+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$，∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，∴2α+$\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{π}{6}$），
∴cos（2α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（2α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2α=sin（2α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（2α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于中档题．