Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的渐近线与圆x²+（y-2）²=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{3}$）
• C． （2．+∞）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c²=a²+b²求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

解答 解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x²+（y-2）²=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即$\frac{2a}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$＜1
∴3a²＜b²，
∴c²=a²+b²＞4a²，
∴e=$\frac{c}{a}$＞2
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．