Question

15．已知函数f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+φ）（x∈R，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象过点M（π，2）．
（1）求φ的值；
（2）设α∈[-$\frac{π}{2}$，0]，f（3α+π）=$\frac{10}{13}$，求f（3α-$\frac{5π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）把（π，2）代入函数解析式，有sin（$\frac{1}{3}$x+φ）=1，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，即可得解φ的值．
（2）由f（3α+π）=$\frac{10}{13}$，可解得：cosα，结合α∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可求sinα，由f（3α-$\frac{5π}{4}$）=2（sin$αcos\frac{π}{4}-cosαsin\frac{π}{4}$）即可求值．

解答 解：（1）把（π，2）代入y=2sin（$\frac{1}{3}$x+φ）得到sin（$\frac{1}{3}$x+φ）=1   …（1分）
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$       …（4分）
（2）由（1）知f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$），
∴由f（3α+π）=2sin[$\frac{1}{3}$（3α+π）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$α+\frac{π}{2}$）=2cosα=$\frac{10}{13}$，可解得：cos$α=\frac{5}{13}$，…（7分）
∵α∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴sin$α=-\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\sqrt{1-（\frac{5}{13}）^{2}}$=-$\frac{12}{13}$  …（9分）
∴f（3α-$\frac{5π}{4}$）=2sin（$α-\frac{π}{4}$）=2（sin$αcos\frac{π}{4}-cosαsin\frac{π}{4}$）=2[（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{5}{13}×\frac{\sqrt{2}}{2}$]…（11分）
=-$\frac{17\sqrt{2}}{13}$   …（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．