Question

20．ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：
①存在点E，使得EF∥平面BCD′；
②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；
③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；
④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．
其中正确结论的序号是①③．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；
②若EF⊥平面ABD′，则平面ADC⊥平面ABD′，显然不成立；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC；
④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E．

解答 解：①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；
②若EF⊥平面ABD′，则平面ADC⊥平面ABD′，显然不成立，故不正确；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC，正确；
④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E，故不正确；
故答案为：①③．

点评 本题考查线面平行的判定，考查面面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．