Question

3．如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=27，设∠ACB=θ，C点到AD的距离为h．
（Ⅰ）求h（用θ表示）
（Ⅱ）求AB+BC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知k可求∠ADC=90°-θ，在△ACD中，由正弦定理可求AC的值，又∠CAD=30°+θ，且0＜θ＜60°，由h=AC•sin∠CAD即可得解．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理分别求出AB，BC，将AB+BC表示成9$\sqrt{3}$+18sin（2θ+60°），由正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：∠ADC=360°-（90°+120°+60°+θ）=90°-θ…1分
在△ACD中，$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$…3分
∴AC=$\frac{27cosθ}{sin60°}$=18$\sqrt{3}$cosθ…4分
又∠CAD=30°+θ，且0＜θ＜60°，
∴h=AC•sin∠CAD=18$\sqrt{3}$cosθsin（30°+θ），（0＜θ＜60°）…6分
（Ⅱ）在△ABC中，AB=$\frac{ACsinθ}{sin120°}$=18sin2θ，…7分
BC=$\frac{ACsin（60°-θ）}{sin120°}$=36cosθsin（60°-θ）=9$\sqrt{3}+9\sqrt{3}cos2θ-9sin2θ$…8分
∴AB+BC=9$\sqrt{3}$+9$\sqrt{3}$cos2θ+9sin2θ=9$\sqrt{3}$+18sin（2θ+60°）…10分
∵0＜θ＜60°，…11分
∴当θ=15°时，AB+BC取到最大值9$\sqrt{3}+18$…12分．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，正弦函数的图象和性质的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．