Question

12．已知函数y=f（x）的图象上任一点（x₀，y₀）处的切线方程为y-y₀=（x₀-2）（x${\;}_{0}^{2}$-1）（x-x₀），那么函数y=f（x）的单调减区间是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，-1）和（1，2）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由切线方程y-y₀=（x₀-2）（x₀²-1）（x-x₀），可知任一点的导数为f′（x）=（x-2）（x²-1），然后由f′（x）＜0，可求单调递减区间．

解答 解：因为函数f（x），（x∈R）上任一点（x₀y₀）的切线方程为y-y₀=（x₀-2）（x₀²-1）（x-x₀），
即函数在任一点（x₀y₀）的切线斜率为k=（x₀-2）（x₀²-1），即知任一点的导数为f′（x）=（x-2）（x²-1）．
由f′（x）=（x-2）（x²-1）＜0，得x＜-1或1＜x＜2，即函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）和（1，2）．
故选C．

点评 本题的考点是利用导数研究函数的单调性，先由切线方程得到切线斜率，进而得到函数的导数，然后解导数不等式，是解决本题的关键．