【题目】已知函数f(x)=(x2﹣ax+a)e﹣x , a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=f'(x),其中f'(x)为函数f(x)的导函数.判断g(x)在定义域内是否为单调函数,并说明理由.
【答案】解:(1)函数f(x)的定义域为R,
其导数f′(x)=﹣(x﹣2)(x﹣a)e﹣x,
①当a<2时,令f'(x)<0,解得:x<a或x>2,f(x)为减函数,
令f'(x)>0,解得:a<x<2,f(x)为增函数;
②当a=2时,f'(x)=﹣(x﹣2)2e﹣x≤0恒成立,函数f(x)为减函数;
③当a>2时,令f'(x)<0,解得:x<2或x>a,函数f(x)为减函数;
令f'(x)>0,解得:2<x<a,函数f(x)为增函数;
综上,
当a<2时,f(x)的单调递减区间为(﹣∞,a),(2,+∞);单调递增区间为(a,2);
当a=2时,f(x)的单调递减区间为(﹣∞,+∞);
当a>2时,f(x)的单调递减区间为(﹣∞,2),(a,+∞);单调递增区间为(2,a);
(2)g(x)在定义域内不为单调函数,
以下说明:g'(x)=f'(x)=[x2﹣(a+4)x+3a+2]e﹣x,
记h(x)=x2﹣(a+4)x+3a+2,则函数h(x)为开口向上的二次函数,
方程h(x)=0的判别式△=a2﹣4a+8=(a﹣2)2+4>0恒成立,
所以,h(x)有正有负.从而g'(x)有正有负,
故g(x)在定义域内不为单调函数.
【解析】(1)先求得导函数,再根据导函数的特征进行分类讨论,进而求得不同情况下函数的单调区间;(2)求得函数g(x)的导函数,其导函数为开口向上的二次函数,故可知函数g(x)在定义域内不为单调函数.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y+4=0.以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求l的普通方程与C的极坐标方程;
(2)已知l与C交于P,Q,求|PQ|.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|+ (a≠0).
(1)若a=1,解关于x的不等式f(x)≥|x﹣2|;
(2)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求正数m的最大值.
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【题目】要想得到函数 的图象,只需将函数y=sinx的图象上所有的点( )
A.先向右平移 个单位长度,再将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变
B.先向右平移 个单位长度,横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变
C.横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,再向右平移
个单位长度
D.横坐标变伸长原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度
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【题目】如图,三棱锥P﹣ABC,侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形,边长为2,顶点P在平面ABC上的射影为D,有AD⊥DB,且DB=1.
(Ⅰ)求证:AC∥平面PDB;
(Ⅱ)求二面角P﹣AB﹣C的余弦值;
(Ⅲ)线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE,如果存在,求 的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知等比数列{an}的公比q=2,前3项和是7,等差数列{bn}满足b1=3,2b2=a2+a4 . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前n项和Sn .
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【题目】已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球的面上,且PA⊥平面ABC,若球O的体积为 (球的体积公式为
R3 , 其中R为球的半径),AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则三棱锥P﹣ABC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为L,A、B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB= .设线段AB的中点M在L上的投影为N,则
的最大值是( )
A.
B.1
C.
D.
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