Question

16．已知点P是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1上的动点，一定点Q（1，0）．有3个点P使得|PQ|=2成立；当点P运动时，线段PQ中点M的轨迹方程为$\frac{（2x-1）^{2}}{9}$+4y²=1．

Answer 1

分析 椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1的右顶点（3，0），满足题意，因为左顶点为（-3，0），所以根据对称性，原点左侧，同样有2个点，满足题意，即可得出结论；利用代入法，可求线段PQ中点M的轨迹方程．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1的右顶点（3，0），满足题意，
因为左顶点为（-3，0），所以根据对称性，原点左侧，同样有2个点，满足题意，
所以有3个点P使得|PQ|=2成立；
设线段PQ中点M（x，y），P（a，b），则a=2x-1，b=2y，
代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1可得$\frac{（2x-1）^{2}}{9}$+4y²=1，即线段PQ中点M的轨迹方程为$\frac{（2x-1）^{2}}{9}$+4y²=1．
故答案为：3；$\frac{（2x-1）^{2}}{9}$+4y²=1．

点评 本题考查线段PQ中点M的轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，正确运用代入法是关键．