Question

6．若实数x，y满足${log_3}[2{cos^2}（xy）+\frac{1}{{8{{cos}^2}（xy）}}]-lny+\frac{y}{3}-ln\frac{e}{3}$=0，其中e为自然对数的底数，则（cos6x）^y的值为-$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 令y=3，求出：cos²（3x），从而求出cos（6x）的值，代入（cos6x）^y求出即可．

解答 解：令y=3，得：
${log}_{3}^{[{2cos}^{2}（3x）+\frac{1}{{8cos}^{2}（3x）}]}$-ln3+1-1+ln3=0，
∴2cos²（3x）+$\frac{1}{{8cos}^{2}（3x）}$=1，
解得：cos²（3x）=$\frac{1}{4}$，∴cos（6x）=2cos²（3x）-1=-$\frac{1}{2}$
∴（cos6x）^y=${（-\frac{1}{2}）}^{3}$=-$\frac{1}{8}$，
故答案为：-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了对数的运算，令y=3，求出：cos²（3x）的值是解题的关键，本题是一道中档题．