Question

14．等比数列{a_n}中，S₃=7，S₆=63．
（1）求a_n；
（2）记数列{S_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的前n项和公式建立方程组求出首项和公比即可求a_n；
（2）先求出S_n的表达式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：（1）若q=1，则S₆=2S₃，与已知矛盾，所以q≠1．…（2分）
则$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=7}\\{{S}_{6}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=63}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，即a_n=2^n-1．
（2）由（1），求得${S_n}={2^n}-1$，…（9分）
于是${T_n}={2^1}-1+{2^2}-1+…+{2^n}-1$=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-n-2$…（14分）

点评 本题主要考查等比数列的通项公式以及求和公式的应用，考查学生的运算能力．