Question

设实数a，b，c均为正实数．
（Ⅰ）证明：a³+b³≥a²b+ab²；
（Ⅱ）当a+b+c=1时，证明：（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）≥8．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）证明使a³+b³≥a²b+ab²成立的充分条件成立；
（Ⅱ）将a+b+c=1代入，再利用基本不等式，即可证明结论．

解答： 证明：（Ⅰ）要证明a³+b³≥a²b+ab² 成立，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b）成立．
又因为a＞0，故只需证a²-ab+b²≥ab成立，
则（a-b）²≥0显然成立，由此命题得证；
（Ⅱ）∵a+b+c=1，
∴（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）=

b+c

a

•

a+c

b

•

a+b

c

≥

2 bc

a

•

2 ac

b

•

2 ab

c

=8，
当且仅当a=b=c时，等号成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查用分析法和综合法证明不等式，属于中档题．