Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在圆C₂：x²+（y-5）²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线y=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）设P为直线y=-4上的一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D，证明：四点A，B，C，D的横坐标之积为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设点M（x，y），由已知条件推导出

x2+(y-5)2

=y+5，由此能求出曲线C₁的方程．
（Ⅱ）当点P在直线y=-4上运动时，设P（x₀，-4），切线方程为kx-y-kx₀-4=0，所以(x02-9)k2+18x0k+72=0，设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，则k1+k2=-

18x0

x02-9

，k1k2=-

72

x02-9

，由

k1x-y-k1x0-4=0 x2=20y

，得x²-20k₁x+20（k₁x₀+4）=0，设四点A、B、C、D的横向联合坐标分别是x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁x₂=20（k₁x₀+4），x₃x₄=20（k₂x₀+4），由此能证明四点A，B，C，D的横坐标之积为定值．

解答： 解：（Ⅰ）设点M（x，y），
由已知得|y+2|=

x2+(y-5)2

-3，
且圆C₂上的点位于直线y=-2的上方，
于是y+2＞0，
∴

x2+(y-5)2

=y+5，
化简得曲线C₁的方程为：x²=20y．
（Ⅱ）证明：当点P在直线y=-4上运动时，设P（x₀，-4），
由题意知x₀≠±3，过P且于圆C₂相切的直线的斜率存在，
每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为y+4=k（x-x₀），即kx-y-kx₀-4=0，
∴

|-5-kx0-4|

k2+1

=3，
整理，得(x02-9)k2+18x0k+72=0，①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁，k₂是方程①的两个实根，
∴k1+k2=-

18x0

x02-9

，k1k2=-

72

x02-9

，②
由

k1x-y-k1x0-4=0 x2=20y

，得x²-20k₁x+20（k₁x₀+4）=0，③
设四点A、B、C、D的横向联合坐标分别是x₁，x₂，x₃，x₄，
则x₁，x₂是方程③的两个实根，
∴x₁x₂=20（k₁x₀+4），④
同理，x₃x₄=20（k₂x₀+4），⑤
由②④⑤三式得：
x₁x₂x₃x₄=400（k₁x₀+4）（k₂x₀+4）
=400[k1k2x02+4x0(k1+k2)+16]
=400（

72x02

x02-9

-4x0•

18x0

x02-9

+16）
=400×16=6400．
∴当点P在直线y=-4上运动时，四点A、B、C、D的横坐标之积为定值6400．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查四点的横坐标之积为定值的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理等知识点的合理运用．