Question

8．设{a_n}为各项均为正数的等比数列，且a₂=$\frac{1}{3}$，a₆=$\frac{1}{243}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：T_2n=a₁-2a₂+3a₃-…-2na_2n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
（II）由（I）可得：（2n-1）a_2n-1-2n•a_2n=（2n-1）$•（\frac{1}{3}）^{2n-2}$-2n$•（\frac{1}{3}）^{2n-1}$=（4n-3）•$（\frac{1}{3}）^{2n-1}$．利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₂=$\frac{1}{3}$，a₆=$\frac{1}{243}$．
∴$\frac{1}{3}×{q}^{4}$=$\frac{1}{243}$，解得q=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
（II）由（I）可得：（2n-1）a_2n-1-2n•a_2n=（2n-1）$•（\frac{1}{3}）^{2n-2}$-2n$•（\frac{1}{3}）^{2n-1}$=（4n-3）•$（\frac{1}{3}）^{2n-1}$．
∴T_2n=a₁-2a₂+3a₃-…-2na_2n=$1×\frac{1}{3}$+5×$（\frac{1}{3}）^{3}$+9×$（\frac{1}{3}）^{5}$+…+（4n-3）•$（\frac{1}{3}）^{2n-1}$．
∴$\frac{1}{9}$T_2n=$（\frac{1}{3}）^{3}$+5×$（\frac{1}{3}）^{5}$+…+（4n-7）•$（\frac{1}{3}）^{2n-1}$+（4n-3）$•（\frac{1}{3}）^{2n+1}$．
∴$\frac{8}{9}$T_2n=$\frac{1}{3}+4[（\frac{1}{3}）^{3}+（\frac{1}{3}）^{5}$+…+$（\frac{1}{3}）^{2n-1}]$-（4n-3）$•（\frac{1}{3}）^{2n+1}$
=$\frac{1}{3}+4×\frac{\frac{1}{27}[1-（\frac{1}{9}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{9}}$-（4n-3）$•（\frac{1}{3}）^{2n+1}$．
化为：T_2n=$\frac{9}{16}-$$\frac{24n+9}{16}×（\frac{1}{9}）^{n}$．

点评 本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式及其性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．