Question

17．已知动圆C经过点（1，0），且与直线x=-1相切，设圆心C的轨迹E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（m≠0）与曲线E相交于A，B两个不同点，以AB为直径圆经过原点，证明：直线l必过一个定点．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义可知轨迹为以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，
（2）联立方程组，利用根与系数的关系得出A，B的坐标，根据OA⊥OB列方程得出k与m的关系，从而确定直线l的定点．

解答 解：（1）∵圆C经过点（1，0），与直线x=-1相切，
∴圆心C到点（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
∴圆心C的轨迹是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，
∴曲线E的方程为y²=4x．
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4-2km}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=2m²+$\frac{4m-2k{m}^{2}}{k}$，
∵以AB为直径圆经过原点，∴OA⊥OB，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$+2m²+$\frac{4m-2k{m}^{2}}{k}$=0，∴m（m+4k）=0，
∵m≠0，∴m=-4k，
∴直线l的方程为y=kx-4k，即y=k（x-4），
直线l过定点（4，0）．

点评 本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．