Question

2．过点M（m，0）（m＞0）作直线l，与抛物线y²=4x有两交点A，B，F是抛物线的焦点，若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$，则m的取值范围是（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 设AB方程为x=ay+m，代入抛物线方程，利用根与系数的关系得出A，B的坐标关系，根据$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$恒成立得出关于m的不等式，从而解出m的范围．

解答 解：设直线AB的方程为x=ay+m，
代入抛物线方程得y²-4ay-4m=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又F（1，0），
∴$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂）
由根与系数的关系得：y₁y₂=-4m，y₁+y₂=4a，
∴x₁x₂=（ay₁+m）（ay₂+m）=a²y₁y₂+am（y₁+y₂）+m²=-4a²m+4a²m+m²=m²，
x₁+x₂=a（y₁+y₂）+2m=4a²+2m，
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=m²-6m-4a²+1＜0，
∴m²-6m+1＜4a²恒成立，
∴m²-6m+1＜0，
解得3-2$\sqrt{2}$＜m＜3+2$\sqrt{2}$．
故答案为（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了直线与抛物线的关系，函数恒成立问题研究，属于中档题．