Question

20．已知函数f（x）=lg（e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a）
（1）若函数f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a＞0，可得a＜e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围；
（2）函数f（x）值域为R，则e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a能取遍一切正实数，可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a＞0，
可得a＜e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∵x∈R，∴e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥2，
∴a＜2；
（2）函数f（x）值域为R，
则e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-a能取遍一切正实数，
∴2-a≤0，
∴a≥2．

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，函数的值域的意义和应用，均值定理在求函数最值中的应用，属中档题．