Question

设a_n是（1-

x

）ⁿ的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），若b_n=

an+1

(n+7) a   n+2

，则b_n的最大值是

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,基本不等式在最值问题中的应用

专题：二项式定理

分析：由已知可得 an=

C

2 n

，由此求得b_n=

1

n+ 14 n +9

，根据y=n+

14

n

的单调性，可得n=4时，y取得最小值，从而求得b_n的最大值．

解答： 解：由已知可得an=

C

2 n

，∴bn=

an+1

(n+7)an+2

=

C 2 n+1

(n+7) C 2 n+2

=

n

(n+7)(n+2)

=

1

n+ 14 n +9

，
由于y=n+

14

n

在(0，

14

)上是减函数，在(

14

，+∞)上是增函数，且n=2，3，4，…，
所以，n=4时，ymin=4+

14

4

=

15

2

，bn=

an+1

(n+7)an+2

取得取大值

1

15 2 +9

=

2

33

，
故答案为：

2

32

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．