Question

设函数f（x）满足：2f（x）-f（

1

x

）=

3

x2

，则函数f（x）在区间[

1

2

，1]上的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：本题先用解方程组的方法求出函数的解析式，再通过换元法，将原函数化成对钩函数，利用其导函数得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．

解答： 解：∵2f（x）-f（

1

x

）=

3

x2

，①
将“x”用“

1

x

”代入，得：
2f(

1

x

)-f(x)=3x2  ②
将①×2+②得：
f(x)=x2+

2

x2

．
令t=x²，记g(t)=t+

2

t

．
g′(t)=1-

2

t2

=

t2-2

t2

=

(t+ 2 )(t- 2 )

t2

由x∈[

1

2

，1]得：t∈[

1

4

，1]．
∴g′（t）＜0．
则g（t）在[

1

4

，1]上单调递减．
[g（t）]_min=g（1）=3．
故答案为3．

点评：本题考查了函数的解析式的求法和导数求最值，还考查了换元法．要注意的是，如果使用基本不等式求最值，则不能取到等号，所以求最值要用到导函数法．本题有一定的思维量和计算量，属于中档题．