Question

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，正数数列{a_n}满足a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1，求数列{a_n}的通项公式为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据函数的奇偶性求出b，c的值，利用函数关系得到数列的递推关系，根据递推关系得到数列{a_n}是以q=

2

3

的等比数列，即可求出数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：∵f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，
∴b=0，c=0，
即f（x）=3x²+1，g（x）=5x，
∵f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1，
∴3（a_n+a_n+1）²+1-5（a_n+1a_n+a_n²）=1，
即3（a_n+a_n+1）²-5a_n（a_n+1+a_n）=0，
则（a_n+a_n+1）[3（a_n+a_n+1）-5a_n]=0，
即（a_n+a_n+1）（3a_n+1-2a_n）=0，
∵正数数列{a_n}，
∴a_n+a_n+1＞0，则必有3a_n+1-2a_n=0，
即

an+1

an

=

2

3

为常数，即数列{a_n}是以q=

2

3

的等比数列，
则数列{a_n}的通项公式为an=(

2

3

)n-1（n∈N^*），
故答案为：an=(

2

3

)n-1，（n∈N^*）

点评：本题主要考查数列的通项公式，根据函数的奇偶性求出，b，c以及利用函数关系得到数列{a_n}是以q=

2

3

的等比数列是解决本题关键．