Question

3．已知函数f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$，a∈R．
（1）若函数g（x）=（x-1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；
（2）当a≤-1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：由函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，等价于g′（x）=xe^x-a-1在（0，1）上有且仅有一个变号零点，构造辅助函数，根据函数的单调性，即可求得a的范围；
（2）由题意，利用分析法，由结论可得 （x-1）（e^x-1）-ax≥0 在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞），利用导数研究函数g（x）单调性，则结论易得．

解答 解：（1）g（x）=（x-1）f（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈（0，1），
g′（x）=xe^x-a-1，
由函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，等价于g′（x）=xe^x-a-1在（0，1）上有且仅有一个变号零点，
令H（x）=xe^x-a-1，x∈[0，1]，
H′（x）=e^x（x+1），由x∈[0，1]，H′（x）＞0，
H（x）在[0，1]单调递增，
∴H（0）=-a-1＜0，H（1）=e-a-1＞0，
解得：-1＜a＜e-1，
∴当-1＜a＜e-1时，函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点；
（2）证明：f（x）lnx=（e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$）lnx，只需证：$\frac{1}{x-1}$•lnx[（x-1）（e^x-1）-ax]≥0 在 （0，1）∪（1，+∞） 上恒成立，
由x∈（0，1）∪（1，+∞） 时，$\frac{1}{x-1}$•lnx＞0恒成立，
∴只需证：（x-1）（e^x-1）-ax≥0 在（0，+∞）恒成立，
设g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞），
由g（0）=0  恒成立，
∴只需证：g（x）≥0 在[0，+∞），恒成立 g′（x）=xe^x-1-a，
g″（x）=（x+1）e^x＞0恒成立，
∴g′（x）单调递增，g′（x）≥g′（0）=-1-a≥0，
∴g（x）单调递增，g（x）≥g（0）=0，
∴g（x）≥0 在[0，+∞）恒成立，
∴f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查分析法证明不等式成立，考查转化思想，属于中档题．