Question

14．现从某班的一次期末考试中，随机的抽取了七位同学的数学（满分150分）、物理（满分110分）成绩如表所示，数学、物理成绩分别用特征量t，y表示，

特征量	1	2	3	4	5	6	7
t	101	124	119	106	122	118	115
y	74	83	87	75	85	87	83

（1）求y关于t的回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，并估计该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩（精确到个位）．
附：回归方程$\widehaty=\widehatbt+\widehata$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$．${\sum_{i=1}^7{（{{t_i}-\overline t}）}^2}=432$．

Answer 1

分析 （1）求出样本中心坐标，代入回归直线方程，然后求解回归直线方程．
（2）利用回归直线方程判断分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，然后求解物理成绩．

解答 解：（1）∵$\overline t=\frac{101+124+119+106+122+118+115}{7}=115$．…（2分）
$\overline y=\frac{74+83+87+75+85+87+83}{7}=82$．…．（4分）
设回归方程为$\widehaty=\widehatbt+\widehata$，代入公式，经计算得$\widehatb=\frac{14×8+9×1+4×5+9×7+7×3+3×5+0×1}{196+81+16+81+49+9}=\frac{240}{432}=\frac{5}{9}$…（6分）$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t=82-\frac{5}{9}×115=\frac{163}{9}$，∴y关于t的回归方程为$\widehaty=\frac{5}{9}t+\frac{163}{9}$…．（8分）
（2）∵$\widehatb=\frac{5}{9}＞0$，∴随着数学成绩的提高，物理成绩会稳步增长，…..（9分）
当t=130时，$y=\frac{5}{9}×130+\frac{163}{9}=\frac{271}{3}≈90$．
所以，该班某学生数学成绩130（分）时，他的物理成绩估计为90（分）…..（12分）

点评 本题考查回归直线方程的求法与应用，考查计算能力．