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    19．第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量t（袋），得到如下数据：
    第一次第二次第三次第四次第五次
    参会人数x（万人）11981012
    原材料t（袋）2823202529
    （Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t关于x的线性回归方程$\hat t=\hat bx+\hat a$；
    （Ⅱ）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为$C=\left\{\begin{array}{l}300t+20，（{0＜t＜35，t∈N}）\\ 290t，（{t≥35，t∈N}）\end{array}\right.$投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入-原材料费用）．
    （参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

    分析 （1）由题意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
    （2）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当x=14时，$\overline{t}$，根据分段函数C讨论其利润．

    解答 解：（Ⅰ）由数据，求得$\overline x=\frac{9+11+12+10+8}{5}=10$，$\overline t=\frac{23+28+29+25+20}{5}=25$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{t_i}=11×2+9×23}+8×20+$10×25+12×29=1273，
    $\sum_{i=1}^5{x_i^2={{11}^2}+{9^2}+{8^2}+}$102+122=510，
    $\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{t_i}-n\overline x\overline t}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{1273-5×10×25}{{510-5×{{10}^2}}}=2.3$，
    $\hat a=\overline t-$$\hat b•\overline x=2$，
    ∴t关于x的线性回归方程为$\hat t=2.3x+2$．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当x=14时，$\hat t=34.2$，
    即预计需要原材料34.2袋，
    ∵$C=\left\{\begin{array}{l}300t+20\\ 290t\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（{0＜t＜35，t∈N}），\\（{t≥35，t∈N}），\end{array}$
    ∴，若t＜35，利润L=600t-（300t+20）=300t-20，
    当t=34时，利润Lmax=300×34-20=10180元；
    若t≥35，利润L=600×34.2-290t=20520-290t，
    当t=35时，利润Lmax=20520-290×35=10370元；
    综上所述，该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元．

    点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题

    练习册系列答案
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    9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
    （Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点；
    （Ⅱ）以α为参数，求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程，并判断该轨迹的曲线类型．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    10．西部大开发给中国西部带来了绿色，人与环境日期和谐，群众生活条件和各项基础设施得到了极大的改善．西部地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
    年份2009201020112012201320142015
    年份代号t1234567
    人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9
    （1）求y关于x的线性回归方程；
    （2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．
    附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$（其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    7．在极坐标系中，设直线l过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），B（a，0），且直线l与曲线C：ρ=cosθ有且只有一个公共点，求正数a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    14．现从某班的一次期末考试中，随机的抽取了七位同学的数学（满分150分）、物理（满分110分）成绩如表所示，数学、物理成绩分别用特征量t，y表示，
    特征量1234567
    t101124119106122118115
    y74838775858783
    （1）求y关于t的回归方程；
    （2）利用（1）中的回归方程，分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，并估计该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩（精确到个位）．
    附：回归方程$\widehaty=\widehatbt+\widehata$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$．${\sum_{i=1}^7{（{{t_i}-\overline t}）}^2}=432$．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{2^x}，x＜2\\{log_3}（{x^2}-1），x≥2\end{array}$，若f（a）=1，则a的值为2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    11．某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：
     物理及格物理不及格合计
    数学及格28836
    数学不及格162036
    合计442872
    （1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
    （2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．
    附：x2=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{21}{n}_{12}）^{2}}{{n}_{1}•{n}_{2}•{n}_{+1}•{n}_{+2}}$．
    P（X2≥k）0.1500.1000.0500.010
    k2.0722.7063.8416.635

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    8．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+0.8t\\ y=2+0.6t\end{array}\right.$（t为参数），则它的普通方程是3x-4y+5=0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    9．已知四个函数：①y=-x，②y=-$\frac{1}{x}$，③y=x3，④y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为$\frac{1}{3}$．

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