Question

7．在极坐标系中，设直线l过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），B（a，0），且直线l与曲线C：ρ=cosθ有且只有一个公共点，求正数a的值．

Answer 1

分析 先求得直线l的普通方程，把曲线C：ρ=acosθ（a＞0）的极坐标方程化为直角坐标方程．因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，可得圆心到直线的距离等于圆半径，由此解得a的值

解答 解：依题意，A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），B（a，0）的直角坐标为A（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（a，0），
从而直线l的普通方程为$\frac{y}{x-a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}-a}$，即$\sqrt{3}x+（2a-3）y-\sqrt{3}a$=0．
曲线C：ρ=cosθ的直角坐标方程为 （x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$．
∵直线l与曲线C有且只有一个公共点，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}a|}{\sqrt{3+（2a-3）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$或a=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$（舍）．
∴正数a的值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．