Question

18．设F是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义得到 $\frac{pb}{2a}$=$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$，利用离心率的定义求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意得 F（$\frac{p}{2}$，0），准线为 x=-$\frac{p}{2}$，设双曲线的一条渐近线为 y=$\frac{b}{a}$x，则点A（ $\frac{p}{2}$，$\frac{pb}{2a}$），
由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即$\frac{pb}{2a}$=$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{b}{2a}$=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选A．

点评 本题考查抛物线的定义和双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义得到$\frac{pb}{2a}$=$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$，是解题的关键．