Question

3．函数f（x）=2（a-1）ln（e^x-1）+e^x，g（x）=（4a-2）x，其中a为常数（a＞$\frac{1}{2}$），f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）当a=$\frac{3}{2}$时，证明f′（x）≥4；
（Ⅱ）当a=$\frac{3}{2}$时，x₀满足f（x₀）=4x₀，证明：当x＞x₀时，f（x）＞4x；
（Ⅲ）设x₁，x₂分别是函数h（x）=f（x）-g（x）的极大值点和极小值点，且x₂-x₁＞ln2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据基本不等式的性质证明即可；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-4x，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据函数的极值求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=$\frac{3}{2}$时，由e^x-1＞0得f（x）的定义域是（0，+∞），
则f′（x）=e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x}-1}$+2≥2$\sqrt{{（e}^{x}-1）•\frac{1}{{e}^{x}-1}}$+2=4；
（Ⅱ）证明：构造函数F（x）=f（x）-4x=ln（e^x-1）+e^x-4x，
∵f（x₀）=4x₀，∴F（x₀）=0，
由（Ⅰ）得F′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$+e^x-4≥0，
故F（x）在定义域内是增函数，
∴x＞x₀时，F（x）＞F（x₀）=0，
故f（x）＞4x；
（Ⅲ）∵h（x）=2（a-1）ln（e^x-1）+e^x-（4a-2）x，
∴h′（x）=2（a-1）$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$+e^x-（4a-2），
令h′（x）=0，化简得：e^2x-（2a+1）e^x+（4a-2）=0，
解得：x=ln2或ln（2a-1），
①2a-1＞2即a＞$\frac{3}{2}$时，x₁=ln2，x₂=ln（2a-1），
∵x₂-x₁＞ln2，∴ln（2a-1）-ln2＞ln2，
∴a＞$\frac{5}{2}$；
②2a-1＜2即a＜$\frac{3}{2}$时，x₁=ln（2a-1），x₂=ln2，
∵x₂-x₁＞ln2，∴ln2-ln（2a-1）＞ln2，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜1（舍），
③2a-1=2即a=$\frac{3}{2}$时，无极值点，不满足题意，
综上，a的范围是（$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．