Question

13．摩拜单车和ofo小黄车等各种共享自行车已经遍布大街小巷，给我们的生活带来了便利．某自行车租车点的收费标准是：每车使用1小时之内是免费的，超过1小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；两人租车时间都不会超过3小时．
（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出甲、乙租车时间超过2小时的概率，
再计算甲乙两人所付的租车费用相同的概率值；
（Ⅱ）根据题意知随机变量ξ的所有取值，
计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）甲租车时间超过2小时的概率为1-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
乙租车时间超过2小时的概率为1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$；
则甲乙两人所付的租车费用相同的概率为
P=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$；
（Ⅱ）甲乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，
则ξ的所有取值为0，2，4，6，8；
且P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=6）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=8）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{16}$；
∴ξ的分布列为

ξ	0	2	4	6	8
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{1}{8}$+2×$\frac{5}{16}$+4×$\frac{5}{16}$+6×$\frac{3}{16}$+8×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．