Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过焦点垂直长轴的弦长为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y²=2x于A、B两点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=3\end{array}\right.$，解可得a、c的值，由椭圆的定义可得b的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；
（2）设过椭圆的右顶点（2，0）的直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立，设出A、B点的坐标，由根与系数的关系的关系分析计算x₁x₂+y₁y₂的值，由向量数量积的性质可得证明．

解答 解：（1）椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过焦点垂直长轴的弦长为3，
则有$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=3\end{array}\right.$，
解可得a=2，c=1，则b²=a²-c²=3．
所以，所求椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）证明：设过椭圆的右顶点（2，0）的直线AB的方程为x=my+2．
代入抛物线方程y²=2x，得y²-2my-4=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=2m\\{y_1}{y_2}=-4.\end{array}\right.$，
∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4=0．
∴OA⊥OB．

点评 本题考查椭圆、抛物线的几何性质，涉及直线与椭圆、抛物线的位置关系，注意分析直线时需要讨论直线的斜率是存在．