Question

12．已知动圆C与圆C₁：（x-2）²+y²=1外切．又与直线l：x=-1相切
（1）求动圆C的圆心的轨迹方程E；
（2）若动点M为直线l上任一点，过点P（1，0）的直线与曲线E相交干A，B两点．求证：k_MA+k_MB=2k_MP．

Answer 1

分析 （1）令C点坐标为（x，y），C₁（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，CC₁=1+r，d=r，CC₁-d=1，化简可求．
（2）由题意，设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线方程，消去x可得y²-8my-8=0，求出相应斜率，即可证明结论．

解答 解：（1）令C点坐标为（x，y），C₁（2，0），动圆得半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，CC₁=1+r，d=r，
C在直线的右侧，故C到定直线的距离是x+1，
所以CC₁-d=1，即$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$-（x+1）=1，
化简得：y²=8x．
（2）证明：由题意，设直线AB的方程为x=my+1，
代入抛物线方程，消去x可得y²-8my-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-1，t），
则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8，x₁+x₂=8m²+2，x₁x₂=1，
∴k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}+t}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}+1}$=$\frac{\frac{1}{8}{y}_{1}{y}_{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}+{y}_{2}-t（{x}_{1}+{x}_{2}）-2t}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$=-t，
2k_MP=2•$\frac{t}{-1-1}$=-t，
∴k_MA+k_MB=2k_MP．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查斜率的计算，属于中档题．