Question

15．己知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），A、C是椭圆短轴的两端点，过点E（3c，0）的直线AE与椭圆相交于另一点B，且F₁A∥F₂B
（I ）求椭圆的离心率；
（II）设直线F₂B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圆上，求$\frac{n}{m}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得|EF₂|=|F₁F₂|，且F₁A∥F₂B，得B是A和E的中点，不妨设A（0，b），由E（3c，0），求得B的坐标，代入椭圆方程即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a²=3c²，b²=a²-c²=2c²，设椭圆方程为2x²+3y²=6c²．分A（0，$\sqrt{2}c$）与A（0，-$\sqrt{2}c$）两类可得$\frac{n}{m}$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵|EF₂|=3c-c=2c=|F₁F₂|，且F₁A∥F₂B，
∴B是A和E的中点，
不妨设A（0，b），由E（3c，0），
∴B（$\frac{3c}{2}，\frac{b}{2}$），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$得：$\frac{\frac{9}{4}{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}{b}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${e}^{2}=（\frac{c}{a}）^{2}=\frac{1}{3}$，得a²=3c²，b²=a²-c²=2c²，
∴椭圆的方程可设为2x²+3y²=6c²．
若A（0，$\sqrt{2}c$），则C（0，-$\sqrt{2}c$），
线段AF₁ 的垂直平分线l的方程为y-$\frac{\sqrt{2}}{2}c=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x+\frac{c}{2}）$，
直线l与x轴的交点（$\frac{c}{2}，0$）是△AF₁C外接圆的圆心．
因此，外接圆的方程为$（x-\frac{c}{2}）^{2}+{y}^{2}=（\frac{c}{2}+c）^{2}$．
直线F₂B的方程为y=$\sqrt{2}$（x-c），于是点H（m，n）的坐标满足方程组：
$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{2}（m-c）}\\{（m-\frac{c}{2}）^{2}+{n}^{2}=\frac{9{c}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，由m≠0，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{2\sqrt{2}}{3}c}\\{m=\frac{5}{3}c}\end{array}\right.$．
故$\frac{n}{m}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$；
若A（0，-$\sqrt{2}c$），则C（0，$\sqrt{2}c$），
同理可得$\frac{n}{m}=-\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
∴$\frac{n}{m}=±\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．