Question

6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程是x²+y²=4．
（Ⅰ）过点（5，3）作直线l与圆C相交于E，F两点，若OE⊥OF，求直线l的斜率；
（Ⅱ）如图，设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂）是圆C上两个动点，点M关于原点的对称点为M₁，关于x轴的对称点为M₂，若直线PM₁，PM₂与y轴的交点坐标分别为（0，m）和（0，n），试问：mn是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-3=k（x-5），即kx-y-5k+3=0，利用圆心到直线l的距离为$\sqrt{2}$，建立方程，即可求直线l的斜率；
（Ⅱ）先求出M₁和点M₂的坐标，用两点式求直线PM₁ 和PM₂的方程，根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值，计算mn的值，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，C（0，0），半径r=2，点（5，3）在圆外，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-3=k（x-5），即kx-y-5k+3=0，
∵圆心到直线l的距离为$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$=$\frac{|-5k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴k=1或$\frac{7}{23}$，
∴直线l的斜率为1或$\frac{7}{23}$；
（Ⅱ）由于M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圆O上的两个动点，则可得M₁（-x₁，-y₁）、M₂（x₁，-y₁），且x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=4．
根据PM₁的方程为$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，令x=0求得y=m=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$．
根据PM₂的方程为$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，令x=0求得y=n=$\frac{-{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
∴mn=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$•$\frac{-{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}（4-{{x}_{1}}^{2}）-{{x}_{1}}^{2}（4-{{x}_{2}}^{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=4为定值．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，属于中档题．