Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列{a_n}的递推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）根据a₂，a₃，a₄值的结构特点猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立

解答 解：（Ⅰ）由题意a₁=1，a₂+a₁=$\sqrt{2}$，a₃+a₂=$\sqrt{3}$-1，a₄+a₃=2-$\sqrt{2}$
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，a₄=2-$\sqrt{3}$
（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
①当n=1时，由a₁=1=$\sqrt{1}$-$\sqrt{1-1}$，猜想成立．
②假设当n=k （k∈N^*）时，猜想成立，即
a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$                
则由a_k+1+a_k=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k-1}$，得a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，
即当n=k+1时，猜想成立，
由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

点评 本题考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式，属于中档题．