Question

9．f（x）是R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则f（x）=0在[0，6]内解的个数为9．

Answer 1

分析 由函数的周期为3可得f（x+3）=f（x），再结合函数的奇偶性确定出函数在给定区间上的零点个数，注意找全零点，不能漏掉．

解答 解：根据题意，函数f（x）的周期为3可得f（x+3）=f（x），
由于f（2）=0，可得出f（5）=f（2）=0，x=2与x=5是方程f（x）=0的解；
又由f（x）是R上的奇函数，则f（0）=0，又由函数f（x）的周期为3，则f（3）=f（6）=f（0）=0，即x=0、x=3、x=6是方程f（x）=0的解；
又由f（x）为奇函数，则f（-2）=-f（2）=0，又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0，即x=1、x=4是方程f（x）=0的解；
又由f（x）是周期为3的奇函数，则有f（-1.5）=-f（1.5）且f（-1.5）=f（1.5），则有f（1.5）=0，又由其周期为3，则有f（4.5）=f（1.5）=0，
即x=1.5、x=4.5是方程f（x）=0的解；
综合可得：x=2、x=5、x=0、x=3、x=6、x=1、x=4、x=1.5、x=4.5是方程f（x）=0的解，即f（x）=0在[0，6]内有9个解；
故答案为：9．

点评 本题考查抽象函数的求值问题，考查函数周期性的定义，函数奇偶性的运用，把握住函数零点的定义是解决本题的关键．