Question

1．向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），若θ为$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角，则cosθ=$-\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 可由$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$得到$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$，进而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，从而得出cosθ的值．

解答 解：$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$
=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$8+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2$
=0；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$；
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-6}{2\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$-\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式．