Question

（2012•烟台一模）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足4bn-

n

2

=(an+1)n，求S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可证得

an+1+1

an+1

=2，从而可求得a_n+1的通项公式，继而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ-1，再由4bn-

n

2

=(an+1)n可求得b_n=

1

2

（n²+n），利用裂项法可求得S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的值．

解答：证明：（1）a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，
∴a₁+1≠0，a_n+1≠0，

an+1+1

an+1

=2，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
即a_n+1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1．     　　　…（6分）
（2）∵4bn-

n

2

=(an+1)n，
∴4bn-

n

2

=2n2，
∴2b_n-n=n²，
即b_n=

1

2

（n²+n）．…（9分）
∴S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．…（12分）

点评：本题考查等比数列的通项公式，考查裂项法求和，求得

1

bn

=2（

1

n

-

1

n+1

）是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．