已知如图.平行四边形中....正方形所在平面与平面垂直.分别是的中点.⑴求证:平面,⑵求平面与平面所成的二面角的正弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知如图，平行四边形中，，，，正方形所在平面与平面垂直，分别是的中点。

⑴求证：平面；
⑵求平面与平面所成的二面角的正弦值。

（1）详见解析；（2）.

解析试题分析：（1）证明线面平行，一般可考虑线面平行的判定定理，构造面外线平行于面内线，其手段一般是构造平行四边形，或构造三角形中位线(特别是有中点时)，由此本题即要证明的中点也是的中点，于是只要证明四边形是平行四边形，此较为容易；（2）求二面角一般分为三个步骤：作出二面角的平面角，证明此角是二面角的平面角，利用解三角形知识求出二面角的三角函数值，也可建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量的夹角，根进一步判断二面角的大小.
试题解析：⑴证明;，,且,
四边形是平行四边形，为的中点，又是的中点
,平面平面,
平面                       4分
⑵（解法1）过点作于，易知为中点，连结.
易知，平面，,
是平面与平面所成的二面角的平面角.      8分
,
,
即平面与平面所成的二面角的正弦值为.          12分
（解法2）以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,    6分
,
设平面的法向量由，得，
令，又平面的法向量为,      9分
设平面与平面所成的二面角为，则，

即平面与平面所成的二面角的正弦值为.          12分
考点：空间中线面的位置关系，二面角.

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA₁＝3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．

（Ⅰ）证明：AD⊥C₁E；
（Ⅱ）当异面直线AC，C₁E 所成的角为60°时，求三棱锥C₁-A₁B₁E的体积．

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（Ⅰ）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A—EB₁—B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.